Dari fungsi trigonometri sudut lancip di tingkat SMP (sisi depan/sisi miring), ketika kita menghadapi sudut lebih besar dari $90^\circ$ atau sudut negatif, segitiga siku-siku secara geometris tidak lagi berlaku. Pada saat ini,lingkaran satuanmenjadi alat inti yang menyatukan semua sudut dan mendefinisikan fungsi trigonometri.
1. Definisi Fungsi Trigonometri untuk Sudut Sembarang
Misalkan $\alpha$ adalah sudut sembarang, sisi akhirnya berpotongan dengan lingkaran satuan di titik $P(x, y)$, maka didefinisikan:
- Sinus (Sine): $\sin \alpha = y$
- Kosinus (Cosine): $\cos \alpha = x$
- Tangen (Tangent): $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$
Jika titik $P(x, y)$ terletak pada lingkaran berjari-jari $r$, maka $\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}, \tan \alpha = \frac{y}{x}$.
2. Hubungan Dasar untuk Sudut yang Sama
Diturunkan langsung dari persamaan lingkaran satuan $x^2 + y^2 = 1$:
1. Hubungan kuadrat: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. Hubungan rasio: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
2. Hubungan rasio: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
Selain itu, dalam matematika lanjutan, fungsi trigonometri juga dapat dihitung secara pendekatan numerik melaluiformula Tayloruntuk perhitungan pendekatan numerik, misalnya: $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$, yang menunjukkan hubungan mendalam antara fungsi trigonometri dan polinomial aljabar.
1. Kumpulkan setiap suku polinomial: satu persegi x², tiga batang persegi panjang x, serta dua persegi satuan 1x1.
2. Mulai menggabungkan mereka secara geometris.
3. Mereka membentuk persegi panjang yang lebih besar secara sempurna! Lebarnya adalah (x+2), tingginya adalah (x+1).
PERTANYAAN 1
Tuliskan himpunan sudut yang memiliki sisi akhir sama dengan $60^\circ$, dan temukan elemen $\beta$ yang memenuhi pertidaksamaan $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$.
Himpunan $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; elemen $\beta = 60^\circ, -300^\circ$
Himpunan $\{ \beta | \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; elemen $\beta = 60^\circ$
Himpunan $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; elemen $\beta = 60^\circ, 420^\circ$
Himpunan $\{ \beta | \beta = 60^\circ \}$; elemen $\beta = 60^\circ$
Benar!
Benar! Sudut-sudut dengan sisi akhir yang sama berbeda sebanyak kelipatan bulat dari $360^\circ$. Ketika $k=0$, $\beta=60^\circ$, dan ketika $k=-1$, $\beta=-300^\circ$, keduanya memenuhi syarat rentang.
Salah
Petunjuk: Bentuk umum sudut dengan sisi akhir yang sama adalah $k \cdot 360^\circ + \alpha$. Cari nilai $k$ yang memenuhi rentang tersebut.
PERTANYAAN 2
Diketahui $\alpha$ adalah sudut lancip, maka $2\alpha$ adalah ( ).
sudut kuadran pertama
sudut kuadran kedua
sudut positif kurang dari $180^\circ$
sudut kuadran pertama atau kedua
Benar!
Benar. Karena $\alpha$ adalah sudut lancip, yaitu $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, maka $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$. Perhatikan bahwa $2\alpha$ bisa saja merupakan sudut siku-siku, sehingga tidak selalu termasuk ke dalam kuadran tertentu.
Salah
Perhatian: Rentang sudut lancip adalah $(0, 90^\circ)$, sedangkan rentang hasil kalinya adalah $(0, 180^\circ)$. Ini mencakup kuadran pertama, kuadran kedua, serta batas sudut $90^\circ$.
PERTANYAAN 3
Diketahui sisi akhir sudut $\theta$ melalui titik $P(-12, 5)$, carilah nilai $\sin \theta$.
$5/13$
$-12/13$
$-5/12$
$13/5$
Benar!
Benar! Pertama hitung $r = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$. Menurut definisi $\sin \theta = y/r = 5/13$.
Salah
Hitung $r$: $r = \sqrt{x^2+y^2}$. Definisi nilai sinus adalah $y/r$.
PERTANYAAN 4
(Jawaban lisan) Misalkan $\alpha$ adalah sudut dalam segitiga, manakah di antara $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$ yang mungkin bernilai negatif?
Hanya $\sin \alpha$
$\cos \alpha$ dan $\tan \alpha$
Ketiganya mungkin
Hanya $\tan \alpha$
Benar!
Benar. Rentang sudut dalam segitiga adalah $(0, \pi)$. Di kuadran pertama $(0, \pi/2)$ semuanya positif; di kuadran kedua $(\pi/2, \pi)$ (sudut tumpul), sinus positif, kosinus dan tangen keduanya negatif.
Salah
Petunjuk: Sudut dalam segitiga bisa berupa sudut lancip, siku-siku, atau tumpul. Pertimbangkan tanda fungsi saat sudut tumpul berada di kuadran kedua.
PERTANYAAN 5
Gambar grafik $y = -\sin x$ pada interval $[-\pi, \pi]$ menggunakan metode lima titik, titik mana yang bukan titik kunci?
$(0, 0)$
(\pi/2, -1)
(\pi/4, -\sqrt{2}/2)
(\pi, 0)
Benar!
Benar. Metode lima titik biasanya mengambil titik seperempat periode, yaitu $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ beserta nilai fungsi yang sesuai. $\pi/4$ bukan titik kunci standar dalam metode lima titik.
Salah
Metode lima titik memilih posisi penting di mana fungsi mencapai nilai maksimum, minimum, dan nol.
PERTANYAAN 6
Fungsi mana dari berikut ini yang merupakan fungsi ganjil dan memiliki periode $\pi$?
$y = \sin 2x$
$y = 1 - \cos x$
$y = \sin x \cos x$
$y = \tan x$
Benar!
正确。$y = \sin 2x$ 是奇函数，且周期 $T = 2\pi/2 = \pi$。注意 $y = \tan x$ 虽然也是奇函数且周期为 $\pi$，但 $\sin 2x$ 在高中题目中更常作为此类型的标准答案。
Salah
Periksa rumus periode $T = 2\pi/\omega$ dan sifat ganjil-genap $f(-x) = -f(x)$.
PERTANYAAN 7
Tanpa menghitung nilai, bandingkan ukuran $\cos \frac{2\pi}{7}$ dan $\cos(-\frac{3\pi}{5})$.
$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$
$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$
Sama
Tidak dapat dibandingkan
Benar!
Benar. $\cos(-3\pi/5) = \cos(3\pi/5)$. Karena $2\pi/7 < \pi/2 < 3\pi/5$, dan fungsi cosinus bersifat monoton turun pada interval $[0, \pi]$, maka sudut yang lebih kecil memiliki nilai cosinus yang lebih besar.
Salah
Petunjuk: Gunakan rumus identitas $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$. Kemudian bandingkan ukuran sudut dalam interval monoton yang sama.
PERTANYAAN 8
Diketahui fungsi $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$, periode positif terkecilnya adalah ( ).
$\pi$
$2\pi$
$\pi/2$
$4\pi$
Benar!
Benar. Menurut rumus periode $T = 2\pi / |\omega|$, di sini $\omega = 2$, maka $T = 2\pi / 2 = \pi$.
Salah
Rumus periode: $T = 2\pi / \omega$.
PERTANYAAN 9
Carilah nilai $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$.
$1/4$
$1/2$
$\sqrt{3}/4$
$1/8$
Benar!
Benar. Gunakan bentuk kebalikan rumus sudut ganda: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$. Jadi $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = 1/4$.
Salah
Petunjuk: Gunakan rumus sudut ganda $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$.
PERTANYAAN 10
Diketahui $\sin \beta + \cos \beta = 1/5, \beta \in (0, \pi)$, maka nilai $\tan \beta$ adalah ( ).
$-4/3$
$3/4$
$-3/4$
$4/3$
Benar!
Benar. Kuadratkan kedua sisi: $1 + 2\sin \beta \cos \beta = 1/25 \implies \sin 2\beta = -24/25$. Karena jumlah positif dan hasil kali negatif, maka $\sin \beta > 0, \cos \beta < 0$ (kuadran kedua). Diperoleh $\sin \beta = 4/5, \cos \beta = -3/5$, sehingga $\tan \beta = -4/3$.
Salah
Petunjuk: Kuadratkan persamaan untuk mendapatkan $\sin \beta \cos \beta$, kemudian gunakan $\sin^2 + \cos^2 = 1$ untuk mencari nilai sinus dan kosinus yang spesifik.
Tantangan: Pemodelan Trigonometri pada Roda Gila
Analisis Fenomena Periodik Nyata
Sebuah roda gila memiliki titik tertinggi 120 meter dari tanah, dan titik terendah 10 meter dari tanah. Putaran lengkap membutuhkan waktu 30 menit. Diasumsikan roda gila berputar secara seragam, pengunjung mulai masuk ke kursi dari titik terendah dan waktu dihitung mulai dari saat itu.
Q1
Cari fungsi analitik dari ketinggian $h$ (m) dari tanah terhadap waktu $t$ (menit) bagi pengunjung.
Penyelesaian Lengkap:
1. Amplitudo $A$: Jari-jari adalah $(120 - 10) / 2 = 55$ m.
2. Perpindahan vertikal $k$: Tinggi pusat adalah $(120 + 10) / 2 = 65$ m.
3. Kecepatan sudut $\omega$: Periode $T=30$, maka $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Fase $\phi$: Pada $t=0$ berada di titik terendah $h=10$. Misalkan $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. Saat $t=0$, $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Fungsi analitik: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ atau $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$.
1. Amplitudo $A$: Jari-jari adalah $(120 - 10) / 2 = 55$ m.
2. Perpindahan vertikal $k$: Tinggi pusat adalah $(120 + 10) / 2 = 65$ m.
3. Kecepatan sudut $\omega$: Periode $T=30$, maka $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Fase $\phi$: Pada $t=0$ berada di titik terendah $h=10$. Misalkan $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. Saat $t=0$, $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Fungsi analitik: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ atau $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$.
Q2
Berapa ketinggian dari tanah setelah pengunjung berputar selama 5 menit?
Penyelesaian Lengkap:
Substitusi $t=5$ ke dalam rumus:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ m.
Kesimpulan: Ketinggian adalah 37,5 meter.
Substitusi $t=5$ ke dalam rumus:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ m.
Kesimpulan: Ketinggian adalah 37,5 meter.
Q3
Jika kursi berputar secara seragam, bagaimana perubahan posisi kursi setelah setengah periode terlihat dalam proyeksi pada lingkaran satuan?
Penyelesaian Lengkap:
经过半个周期（15分钟），角度增加了 $\pi$ 弧度。在单位圆上，这意味着点 $P(x, y)$ 旋转到了关于原点对称的点 $P'(-x, -y)$。在三角函数中表现为诱导公式：$\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$。因此，如果原本在最低点，半周期后必在最高点。
经过半个周期（15分钟），角度增加了 $\pi$ 弧度。在单位圆上，这意味着点 $P(x, y)$ 旋转到了关于原点对称的点 $P'(-x, -y)$。在三角函数中表现为诱导公式：$\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$。因此，如果原本在最低点，半周期后必在最高点。
✨ Poin Utama
Di lingkaran satuanlihat koordinat,$y$ adalah sinus $x$ adalah kosinus.jumlah kuadratselalu sama dengan satu,rasio tangenakan terus berlangsung selamanya!
💡 Koordinat adalah nilai fungsi
Ingatlah bahwa 'lingkaran satuan' adalah inti utama. Koordinat horizontal titik potong sisi akhir dengan lingkaran satuan, $x$, adalah $\cos \alpha$, sedangkan koordinat vertikalnya, $y$, adalah $\sin \alpha$.
💡 Rumus tanda kuadran
“Satu semua positif, dua sinus, tiga tangen, empat kosinus”. Ini menentukan bagaimana Anda memilih tanda positif atau negatif saat melakukan operasi akar.
💡 Domain fungsi tangen
Karena $\tan \alpha = y/x$, ketika sisi akhir berada di sumbu $y$ (yaitu $\alpha = k\pi + \pi/2$), maka $x=0$, sehingga nilai tangen tidak terdefinisi.
💡 Peringatan tentang satuan radian
Saat menerapkan formula Taylor atau model periodik fisika ($T=2\pi/\omega$), sudut harus menggunakan satuan radian.
💡 Metode lima titik untuk menggambar grafik
Saat menggambar kurva sinus dan kosinus, tentukan tiga titik nol dan dua titik ekstrem, lalu hubungkan dengan garis melengkung seperti gelombang.